Pengertian dan Contoh Program Linear

materi program linear - Image from toolshero.com

Wajibbaca.com kali ini akan membahas tentang materi matematika dengan fokus program linear. Dalam artikel ini meliputi materi program linear dari pengertian hingga contoh program linear.

Program linear merupakan suatu program yang digunakan sebagai metode yang umumnya digunakan untuk memecahkan suatu masalah seperti pengalokasian sumber daya dengan tujuan akhir yaitu menentukan nilai minimum atau maksimum.

Untuk lebih lengkapnya mari kita simak penjelasan di bawah.

Pengertian Program Linear

Program linear adalah suatu program yang digunakan sebagai metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) dapat diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaian persoalan linear.

Terdapat fungsi linear pada persoalan linear tersebut yang bisa disebut dengan fungsi objektif. Batasan, persayaratan, dan kendala dalam persoalan linear merupakan sistem pertidaksamaan linear.

Perhatikan tabel persoalan maksimum dan minimum dibawah berikut:

persoalan program linear - Image from rumusbilangan.com

Program Linear Model Matematika

Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam sebuah model matematika.

Model matematika memiliki pengertian sebagai pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.

Simak gambaran berikut:

Sebuah pabrik sepatu membuat 2 model sepatu dengan menggunakan 2 bahan yang berbeda. Model pertama memiliki komposisi terdiri dari 200 gr bahan pertama dan bahan kedua 150 gr. Sedangkan komposisi model kedua tersebut terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama 76 kg dan persediaan di gudang untuk bahan kedua 64 kg. Harga model pertama ialah Rp. 500.000,00 dan untuk model kedua harganya Rp. 400.000,00.

Apabila disimpulkan atau disederhanakan ke dalam bentuk tabel akan menjadi sebagai berikut:

model matematika 1 - Image from rumusbilangan.com

Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 ialah x dan model 2 ialah y, serta hasil penjualan optimal ialah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan beberapa syarat:

• Jika jumlah maksimal bahan 1 yaitu 72.000 gr, maka 200x + 150y ≤ 72.000.​
• Apabila jumlah maksimal bahan 2 yaitu 64.000 gr, maka 180x + 170y ≤ 64.000
• Masing-masing dari setiap model harus terbuat.
  

Berikut adalah model matematika untuk mendapatkan jumlah penjualan yang maksimum:

permodelan maksimum - Image from rumusbilangan.com

Nilai Optimum Fungsi Objektif

Fungsi objektif yaitu fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki sebuah himpunan penyelesaian. 

Himpunan penyelesaian yang ada adalah berupa titik-titik dalam diagram cartesius yang apabila koordinatnya disubstitusikan ke dalam fungsi linear maka dapat memenuhi persyaratan yang ditentukan.

Baca Juga :

1. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
2. Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran
3. Contoh Soal Persamaan Kuadrat

Nilai optimum fungsi objektif dari suatu persoalan linear dapat ditentukan dengan menggunakan metode grafik. Dengan melihat grafik dari fungsi objektif dan batasan-batasannya, maka kita bisa tentukan letak titik yang menjadi nilai optimum.

Langkah-langkahnya yaitu sebagai berikut :

• Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada pada cartesius.
• ​Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan pada garis batasan dengan garis batasan yang lainnya. Titik-titik ekstrim tersebut adalah himpunan penyelesaian dari batasannya dan memiliki suatu kemungkinan besar akan membuat fungsi menjadi optimum.
• Meneliti nilai optimum fungsi objektif dengan dua acara, yaitu :

1. Menggunakan garis selidik.
2. Membandingkan nilai fungsi objektif pada tiap titik ekstrim.

1. Menggunakan garis selidik

Garis selidik dapat diperoleh dari fungsi objektif f(x, y) = ax + by yang mana garis selidiknya ialah:

ax + by = Z

Nilai Z diberikan sembarang nilai.

Garis ini dibuat setelah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaannya juga dibuat.

Garis selidik awal dibuat di area himpunan penyelesaian awal. Lalu kemudian dibuat garis-garis yang sejajar dengan garis selidik awal.

Berikut adalah pedoman untuk mempermudah penyelidikan nilai fungsi optimum:

Cara 1 (syarat a > 0), yaitu:

• Apabila maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kiri garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.​
• Apabila minimum, maka dibuatlah garis yang sejajar garis selidik awal sehingga akan membuat suatu himpunan penyelesaian berada di kanan garis tersebut.

Titik yang dilalui garis tersebut ialah titik minimum.

Perhatikan grafik dibawah:

garis selidik 1 - Image from rumusbilangan.com

Cara ke- 2 (syarat b > 0), yaitu:

• Apabila maksimum: maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di bawah garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.
• ​Apabila minimum: maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di atas garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.

Perhatikanlah grafik dibawah berikut:

garis selidik 2 - Image from rumusbilangan.com

Bagi nilai a < 0 dan b < 0 maka berlaku sebuah kebalikan dari kedua cara yang dijelaskan di atas.

Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik Ekstrim

Menyelidiki nilai optimum dari fungsi objektif juga dapat dilaksanakan dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari suatu garis-garis batas yang ada.

Titik-titik potong tersebut merupakan nilai ekstrim yang berpotensi memiliki nilai maksimum pada salah satu titiknya.

Berdasarkan titik-titik tersebut, maka dapat ditentukan nilai masing-masing fungsinya, yakni kemudian dibandingkan.

Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil adalah merupakan nilai minimum.

Contoh Program Linear

Tentukanlah sebuah nilai minimum dari: f(x, y) = 9x + y pada daerah yang telah dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7.

Penyelesaian:

• Langkah 1 yaitu menggambar grafiknya terlebih dahulu:​

contoh soal linear 1 - Image from rumusbilangan.com

• Langkah ke-2 menentukan titik-titik ekstrimnya:

Maka berdasarkan gambar diatas, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang telah diarsir.

• Langkah yang ke-3, yaitu menyelidiki nilai optimum:

Berdasarkan grafik diatas dapat diketahui titik A dan B mempunyai nilai y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum.

Kedua titik disubstitusikan ke dalam f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan.

penyelesaian nilai optimum - Image from rumusbilangan.com

Dengan membandingkan tersebut,maka bisa disimpulkan bahwa titik A memiliki nilai minimum 18.

Contoh program linear di atas menjadi akhir dari artikel kami. Kami harap artikel ini dapat membantu anda lebih memahami program linear dan dapat menyelesaikan soal yang berhubungan dengan program linear.